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viernes, 11 de marzo de 2011

Angulos. Convertir ángulos. Radianes. Conversion de ángulos.Formulas ángulos

En esta ocasión como muy bien lo dice el título voy a explicar lo que es un ángulo, su forma de medida, los diferentes sistemas utilizados para su medición, y las unidades que podemos utilizar para medir los mismos, así como los métodos para convertir unidades

Empecemos con una definición. Podemos entender como ángulo, la figura formada por dos rectas que se cortan en un punto (vértice), y donde las rectas mismas en si representan los lados del ángulo, como podemos verlo en la figura de la izquierda. El nombre dado a los ángulos se expresa de varias formas siendo las mas usadas las letras griegas minúsculas y el uso de un icono en forma de ángulo y las tres letras que representan los extremos de los lados y el vértice, de esta manera "<AOB". Consideremos por ahora solo el ángulo comprendido <AOB, veamos como medirlo. Existen en uso dos sistemas de medición de ángulos: El sistema SEXAGESIMAL (BASE A 60) y el sistema CIRCULAR basado en las propiedades de la circunferencia. Veamos las características del primero

SISTEMA DE ANGULOS SEXAGESIMALES:

En este sistema los ángulos se expresan de dos maneras: 

  1. Angulos decimales: los valores se expresan simplemente con fracciones de grados con varios decimales significativos, y
  2. Angulos grados(°), minutos(') y segundos("): que no es más que una analogía hecha por los navegantes hace cientos de años, basandose en el hecho de que la aguja del reloj daba vueltas, y la medición de angulo se realiza de forma circular. Parte del hecho de que un angulo recto tiene 90°, cada grado se divide en 60', y cada minuto de grado en 60".

Veamos un ejemplo:

Supongamos un ángulo de 55,22566° estaria expresado en forma decimal, el mismo ángulo expresado en notacion de grados, minutos y segundos sería 55°13'32".

Dicho esto veamos como convertir de una notación a la otra:

De decimal a grados, minutos y segundos: 

Sabemos que 1º=60' y 1'=60" son los factores de conversion necesarios para esta operación.

Separamos la parte entera del número: 55,22566º  quedarán 55º  
 0.22566º x 60'/1º=13,5396' igual tomamos como minutos solo la parte entera, ya nos va quedando 55º13'   0,5396' x 60"/1'=32,38" y asi finalmente llegamos a 55º13'32".

Asi tenemos que, 55,22566º es el mismo ángulo 55º13'32" pero en la notación de grados, minutos y segundos.

De grados, minutos y segundos a notación decimal:

En este caso sabemos que tenemos que llevar toda la notación a grados y esto nos lleva a los siguientes factores de conversión:

1'=(1/60)º
1"=(1/3600)º o 1º=3600"

En este caso aplicamos las siguientes operaciones 55º + 13' x 1º/60' + 32" x 1º/3600" =  55,22566º.

De esta menera podemos convertir de una notación a otra en cualquier caso, siempre usando los factores de conversión. Incluso podriamos denotar un ángulo, todo en minutos o todo en segundos, utilizando las conversiones, veamos como, con el mismo ejemplo:

55º13'32" en grados ya sabemos que es 55,22566º, si llevamos todo a minutos tendremos:

55º x 60'/1º =      3300'           +
32" x 1'/60" =            0.5333'
                               13'      
                           3313,5333'.


SISTEMA DE MEDICION DE ANGULOS CIRCULAR.  RADIAN.


De la definición de circunferencia sabemos que la longitud de una circunferencia es proporcional a su diametro, es decir: S = π D, donde la letra griega pi (π) es la constante de proporcionalidad,S es la longitud de la circunferencia y  D es el diámetro, como D = 2r, dos veces el radio, podriamos escribir la ecuacion anterior como S = 2π r.


En este sistema de medición de ángulos se parte del principio del arco de una circunferencia y la relación que se establece entre este arco, el radio de la circunferencia y el ángulo formado por dos radios. Así tenemos la relación: S= r.θ, donde S es la longitud del arco subtendido entre los dos radios, r es el radio de la circunferencia y θ es el ángulo formado. La unidad de medida de ángulos en este sistema es el radian cuya representación es "rad" o simplemente no se pone nada ya que es una unidad adimensional, asi tendriamos 2 rad, para representar dos radianes, por ejemplo. Un radian se define como como el valor de angulo donde el radio iguala la longitud del arco de circunferencia subtendido, como lo muestra la figura siguiente.

radian



De esto deriva el hecho que si la longitud del arco es una circunferencia completa entonces S = 2π r, y sustituyendo en la formula nos quedara que para una circunferencia completa, la revolución completa sera de  θ = S/r = 2π r/r = 2π. Es decir en una revolución , o ciclo, o vuelta completa en una circunferencia el ángulo es igual a 2π radianes.





CONVERSION SEXAGESIMAL A RADIANES Y VICEVERSA.

Dado que en la mayoria de los casos no nos interesa saber la longitud de la circunferencia completa, sino solamente la longitud del arco subtendido por un angulo determinado podemos escribir la  ecuación de la longitud de una circunferencia pero indicando solo la fraccion de arco, subtendido, es decir; S = 2πr x (β/360º), donde β es el ángulo en grados (NOTA: EN NOTACION DECIMAL) , reduciendo la ecuación, nos quedara que la longitud de una arco de circunferencia es S = (π.r.β)/180º.


tenemos entonces que un arco de circunferencia se puede calcular con ambas formulas:

S = r . θ
S = (π.r.β)/180º

y como es el mismo arco de circunferencia podemos igualar ambas ecuaciones y obtenemos:

r .θ = (π.r.β)/180º y simplificando nos queda: θ/β = π/180º. Esta es la formula de conversión de grados sexagesimales a radianes y viceversa. Es decir conocido θ en radianes podemos convertirlo a grados despejando la variable β, y en el caso contrario, conocido β en grados, podemos despejar θ en radianes. Si θ = 1 rad, entonces β= 57,2957º.  Ahora si β = 1º, entonces θ = 0.01745 rad. Asi tendremos los siguientes factores de conversión:

1 rad= 57,2957º
1º= 0.01745 rad


El gráfico siguiente nos muestra una circunferencia con los valores equivalentes en grados y radianes para los ángulos.



Veamos un ejemplo.

Dado β= 55º13'32". Convertirlo a radianes.

Solucion:

1) Como el ángulo esta en grados, minutos y segundos debemos llevarlo a notacion decimal.
β= 55º + 13' x(1º/60') + 32" x (1º/3600") = 55,22566º

2) Seguidamente utilizamos el factor de conversión adecuado en este caso para pasar de grados a radianes, sabemos entonces que 1º = 0.01745 rad.

Finalmente nos queda:
β= 55,22566º x 0.01745 rad / 1º = 0.9636 rad.

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